1、x2/2-y2/2=1[编辑本段]·双曲线的第一定义 数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c)时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。
(相关资料图)
2、两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。
3、两焦点的距离叫焦距，长度为2c。
4、其中2a在坐标轴上的端点叫做顶点，c^2=a^2+b^2 (a=长半轴，b=短半轴)[编辑本段]·双曲线的第二定义1.文字语言定义 平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。
5、定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
6、2.集合语言定义 设 双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d, 这时称集合表示的点集是双曲线. 注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1. 3.标准方程 设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d, 则由 |MF|/d=e>1. 推导出的双曲线的标准方程为 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程. 而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为: (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.[编辑本段]·双曲线的简单几何性质 轨迹上一点的取值范围:x≥a,x≤-a(焦点在x轴上)或者y≥a,y≤-a(焦点在y轴上)。
7、 2、对称性:关于坐标轴和原点对称。
8、 3、顶点:A(-a,0)， A’(a,0)。
9、同时 AA’叫做双曲线的实轴且∣AA’│=2a. B(0,-b)， B’(0,b)。
10、同时 BB’叫做双曲线的虚轴且│BB’│=2b. 4、渐近线: 焦点在x轴:y=±(b/a)x. 焦点在y轴:y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。
11、其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角 令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。
12、θ=arccos(1/e) 令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 这两个x是双曲线定点的横坐标。
13、 求出他们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标) x=/2 (注意化简一下) 直线ρcosθ=/2 是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
14、 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’ 则θ’=θ- 则θ=θ’+ 带入上式: ρcos=/2 即:ρsin=/2 现在可以用θ取代式中的θ’了 得到方程:ρsin=/2 5、离心率: 第一定义: e=c/a 且e∈(1，+∞). 第二定义:双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e. d点(│PF│)/d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e 6、双曲线焦半径公式(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离) 右焦半径:r=│ex-a│ 左焦半径:r=│ex+a│ 7、等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即:2a=2b 且 e=√2 8、共轭双曲线 双曲线S’的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S’的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S’与双曲线S为共轭双曲线。
15、 几何表达:S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S’:(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特点:(1)共渐近线 (2)焦距相等 (3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 9、准线: 焦点在x轴上:x=±a^2/c 焦点在y轴上:y=±a^2/c 10、通径长:(圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦) d=2b^2/a 1过焦点的弦长公式: d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角] 12、弦长公式: d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下: 由 直线的斜率公式:k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式:|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 稍加整理即得: |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²) 双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的呢? 1.简单实验(边演示、边说明) 如图2-23，定点FF2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支;由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支. 注意:常数要小于|F1F2|，否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线. 2.设问 问题1:定点FF2与动点M不在平面上，能否得到双曲线? 请学生回答，不能.强调“在平面内”. 问题2:|MF1|与|MF2|哪个大? 请学生回答，不定:当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|;当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|. 问题3:点M与定点FF2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|? 请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|.正确表示为||MF2|-|MF1||. 问题4:这个常数是否会大于等于|F1F2|? 请学生回答，应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时，轨迹是以FF2为端点的两条射线;当常数＞|F1F2|时，无轨迹. 3.定义 在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义: 平面内与两定点FF2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点FF2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距. 教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记. (三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导. 标准方程的推导: (1)建系设点 取过焦点FF2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24) 建立直角坐标系. 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么FF2的坐标分别是(-c，0)、(c，0).又设点M与FF2的距离的差的绝对值等于常数. (2)点的集合 由定义可知，双曲线就是集合: P==. (3)代数方程 (4)化简方程(由学生演板) 将这个方程移项，两边平方得: 化简得: 两边再平方，整理得: (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). (以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.) 由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0. 设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得: b2x2-a2y2=a2b2. 这就是双曲线的标准方程. 两种标准方程的比较(引导学生归纳): 教师指出: (1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b; (2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. (3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2. (四)练习与例题 1.求满足下列的双曲线的标准方程: 焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4; 3.已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程.如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况? 由教师讲解: 按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42. 因为2a=12，2c=10，且2a＞2c. 所以动点无轨迹. (五)小结 1.定义:平面内与两定点FF2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹. 3.图形(见图2-25): 4.焦点:F1(-c，0)、F2(c，0);F1(0，-c)、F2(0，c). 5.a、b、c的关系:c2=a2+b2;c=a2+b2. 五、布置作业 1.根据下列条件，求双曲线的标准方程: (1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2); 3.已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标. 作业答案: 2.由(1+k)(1-k)＜0解得:k＜-1或k＞1[编辑本段]·双曲线的标准公式与反比例函数 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a (a≠0,顺时针) (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.[编辑本段]·双曲线焦点三角形面积公式 若∠F1PF2=θ, 则S△F1PF2=b²·cot(θ/2) ·例:已知FF2为双曲线C:x²-y²=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 少? 解:有双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b²·cot(θ/2)=1×cot30°， 设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2。
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